独自ドメインを新しいoutlookメーラーで利用することは出来るのでしょうか。

新しい Outlook についての話であれば、新しい Outlook で POP/IMAP アカウントをメインに利用するのはお勧めできません。従来の Outlook や Thunderbird のようなメールクライアントを利用する方が良いでしょう。

※他のメールアプリで POP/IMAP のアカウントを構成済みで、新しい Outlook でも同じメールが見えると嬉しいな、位の運用であればまあ良いでしょうが。

意味がわかりません。

ロリポップのサーバーにセットしたムームードメインの独自ドメインのメールをgmailに転送不能になったので 今メーラーを探しています。

転送とメーラが何の関係があるのですか。

何で転送不可なんですか。何でメーラが出てくるのですか。

例えばアマゾンで登録した○○@xxxxx.comで受信したものを新しく作ったマイクロ ソフトメールへ転送します。振り分けとしてアマゾンフォルダ、家電フォルダ等にメールを振り分けて広告等は 広告フォルダに残す等の振り分けは可能なのでしょうか。アマゾンならば、重要フォルダ・広告フォルダへとい う形です。Microsoft Cloudとの相性等が判らないので、運用されている方いらっしゃいましたら教えてください。

何を言ってるのかさっぱり分かりません。

＞ ロリポップのサーバーにセットしたムームードメインの独自ドメインのメールをgmailに転送不能
自動転送ですか？　メール１件ごとに手動操作での転送ですか？
どの様な転送エラーになったのですか？
自動転送は、利用しているメールサービス側のブラウザ版で設定するものです。
閲覧したメールを手動で転送できないのは受信側で何らかの拒否をしているのでしょう。
いづれにしても ロリポップ 或いは gmail側の問題です。 メールアプリ側での問題ではありません。

＞ 振り分けとしてアマゾンフォルダ
メールのフォルダ振り分けは、利用しているメールサービス側でのブラウザ版で設定してください。
受信側がgmailであれば、Google社に設定方法を聞いてください。
（他社のメールアドレスの場合は、新しいOutlookではルール機能を利用出来ません。
　メールサービス側がルール機能をサポートしていなければ諦めてください。）

受信側がMicrosoftのメールアドレス(outlook.jpなどの場合は、ルール機能を利用してメールをフォルダに振り分けることは可能です。
Outlook.comメールサービスでは不特定多数にメール配信している事業者などのメールは迷惑メール規制の対象と見做してメールサーバー側で自動的にメール削除してくれる優れた機能があります。
Amazonからのメールであれば、迷惑メールフォルダや受信トレイにはメールが届かない可能性が高そうです。
（gmailだと迷惑メールフォルダに届いたりするメールでも、Outlook.comメールサービスの場合はサーバー側で削除してくれるので一切メールを見なくてすみます。）
ルール機能は、受信トレイに届いたメールを振り分けなとするものです。
（迷惑メールは受信トレイに届く前に迷惑メールフォルダに格納されますのでルールを利用出来ません。）
ルールで判定できる条件は色々ありますので、あなたの運用に適用出来るかどうかはご自身で判断してください。

独自ドメインを新しいoutlookメーラーで利用することは出来るのでしょうか。

どうして自分で調べないのですか。

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