office 2019 すべての端末がサインインを要求して利用できない

これは、9/24に配信された更新プログラム「クイック実行更新サポート」プログラムによるものです。

９０日以上更新されていない Microsoft 365 Apps が入っている　Windows のPCに提供されました。

通常は、きちんとライセンスが紐づいている Microsoft アカウントにサインインすればいいだけです。

※　Microsoft 365 Apps とは、Word や Excel などのアプリのことを言います。一般ユーザー向けには、すべて最新チャンネル（Current Channel）が適用されています。Microsoft 365 Personal などのような、サブスクリプション製品という意味ではありません。

現在、Office 2013・2016・2019などの旧製品で、Officeが見つからない、またはライセンス認証を求められる事象が多発しているようです。

Office製品が起動できる場合でプロダクトキーがある場合は、「プロダクトキーがある場合」をクリックし、プロダクトキーを再度入力して起動するようです。

Microsoftアカウントへの再サインインで改善しない場合は、Officeの再インストールが必要になる可能性があります。

再インストールする場合は、Officeの初回設定時に使用したMicrosoftアカウントで、https://account.microsoft.com/servicesにサインインし、登録されているOffice製品の「インストール」からプログラムをダウンロードしてください。

サポート修了したアプリですね。
Office2016とOffice2019のサポート終了
OneDriveなどのMicrosoftクラウドとの接続もサポート対象外になっているので何が起きるかは誰も予測出来ません。
OfficeバージョンとMicrosoft365サービスへの接続

下記にてインストール出来ませんか？
Office 2021、Office 2019、または Office 2016 をダウンロードしてインストールまたは再インストールする

<追記>
Microsoftは原因調査中の様です。その状況などは下記を参照してみてください。
（日本語サイトは情報更新が遅れているので USサイトをブラウザ翻訳などして閲覧してみてください。）
KB5002907: Optional update for out-of-date Microsoft 365 Apps installations