バッテリーの問題について参考になりそうなサイトがありましたので、以下のサイトを参考に試してみてください。
Windows 10 で Surface のバッテリーが充電されない、または Surface がバッテリーで動作しない
あと、上記サイトのバッテリードライバーの再インストールと似た操作になりますが、改善できなかった場合はこちらの方法も試してみてください。
・DTXドライバーの入れ直し
キーボードの「Windowsキー + Xキー」>デバイスマネージャー>システムデバイスの順にクリックします。
システムデバイスの中の、「Surface DTX」を右クリック>アンインストール を行い、ドライバーがアンインストールされたのを確認後に、再起動を行い充電ができるか確認を行う。