Olá ValérioRiberto,
Uma questão que deve ter em consideração quando você diz que deseja manter essa máquina é o facto de ela já ter uns bons anos e você a ter usado muito, pode vir a acontecer que ela pare com um problema de motherboard (por exemplo) e neste caso não vai compensar arranjar, logo, de certa forma, não deve confiar informação importante a essa máquina que não esteja também em qualquer outro lado. Aliás deve ter sempre cópias de segurança, seja a máquina nova ou velha.
Não creio que haja um problema com a placa Wi-Fi propriamente até porque numa das imagens que você enviou de uma situação de erro a placa estava a funcionar correctamente, pelo menos era essa a indicação do seu gestor de dispositivos.
Claro que para ter absoluta certeza teríamos que abrir a máquina e testar a respectiva placa, mas acho pouco provável, pelas informações aqui, que seja a placa de rede.
Em relação aos prints que você enviou a maior parte deles são falhas de DNS, que acontecem quando você perde ligação ao servidor de DNS. Já gora que DNSs você está a usar, ou melhor qual a sua configuração IP?
Pode obter isso abrindo uma janela CMD e escrevendo o seguinte comando seguido de enter: IPCONFIG /ALL
Veja também qual o motivo para ter aquela indicação (X vermelho) no seu centro de acção, (ícone da bandeira junto ao relógio na barra de tarefas)