「設定 > 時刻と言語 > 入力 > キーボードの詳細設定」にある「既定の入力方式の上書き」で
「日本語 - Google 日本語入力」を選択していても、その下にある「アプリウィンドウごとに異なる入力方式を設定する」にチェックが入っていると他の入力方式が優先される場合があります。
あたしのテスト環境にある2ndアカウントで日本語と英語(米国)をインストールした状態でGoogle日本語入力をインストールし、「設定 > 時刻と言語 > 言語と地域 > オプション」のキーボードで「インストールされているキーボード」の追加でGoogle日本語入力を追加し、Microsoft IMEを削除してみました。
「既定の入力方式の上書き」で「アプリウィンドウごとに異なる入力方式を設定する」にチェックがある状態で「既定の入力方式の上書き」を「言語リストを使用します(推奨)」から「日本語 - Google日本語入力」に変えただけでは、ENGが既定の状態で起動していました。
そこで「既定の入力方式の上書き」の「日本語 - Google 日本語入力」を選択した上で「アプリウィンドウごとに異なる入力方式を設定する」のチェックをオフに設定したところ、Google日本語入力を優先入力に変えることが出来ました。
もし「アプリウィンドウごとに異なる入力方式を設定する」のチェックが既定のままである場合は、オフにしてみてください。