タスクバーでアイコンの入れ変えがドラッグでできません。

タスクバーのアイコンでしょうか、それとも右端の通知領域のアイコンでしょうか。
また、タスクバーの場合は、ピン留めしたアイコンなのか起動した場合に表示されるアイコンのどちらなのでしょうか。
わたしのPCではどれも問題なく移動できます。

もしかしたら数が多すぎるのが原因かもしれません。
オーバーフロー内のアイコンであればそこまで数を増やしたことがないので確認できませんが、小さいアイコン使うなど設定変更して改善されないか試してみてください。
下のサイトを参照してください。
　　タスクバーのアプリアイコンがなぜか異常に小さくなってしまった

改善されない場合は、ピン留めアイコンならピン留めを外して数を減らした場合にどうなるか試してみたらどうでしょうか。
あるいは、オーバーフローについては確認できませんが、ピン留めを外してからピン留めしなおすと右端に表示されるようになると思いますので、それで順番を替えられないでしょうか。
数が多いことが原因なら、ピン留めを減らしデスクトップにショートカットを作成することで代替させることもできます。
起動アイコンの場合は起動数を減らすしかないと思います。

通知領域の場合はこの方法が使えません。
非表示にしてから表示に戻しても位置は変りません。
この場合は非表示アイコンのメニュー（∧→V）をクリックして表示させた枠にドラッグ（下図）すれば通知領域から消えて非表示になりますが、逆に非表示アイコンのメニューから通知領域にドラッグすれば左端に表示されるので、この方法なら移動できそうです。
なぜこのような挙動になるのかは不明です。

こんにちは

最初に行うべきいくつかのチェック。では、その赤いアイコンはピン留めされたものなのでしょうか、それとも実行中のアプリからのものなのでしょうか。ピン留めされたアプリは、現在開いていなくてもタスクバーに残ります。実行中のアプリは、プログラムが実際に実行されている間にのみ表示されます。

ご存知のとおり、それを確認するには、そのアイコンを右クリックするだけです。メニューに「タスクバーからピン留めを解除する」がポップアップ表示された場合、はい、永久にピン留めされています。ただし、そのオプションが存在しない場合は、基本的に現在実行されているアプリに対する一時的なものにすぎません。

ああ、時には独自の奇妙なルールを持つアプリです。システムモニターやウイルス対策プログラムのように、通常のもののようには動作しません。簡単に動かしたりピン留めしたりすることはできません。