「受信者のメールボックスがいっぱいになっています」というエラーメールがメールと一緒に送られてくる。

使用しているアカウントが大学のメールアドレスで、使用している（ソフト）が Outlook で間違いないのであれば、Outlook.com ではありません。

先の「削除済みの中の復元可能な」は関係ないと言うことです。

（ソフトの Outlook と Outlook.con は別物です）

書かれた内容ですと、大学の方の管理者に、サーバーがいっぱいなのでどう対応したらいいか聞くのがいいと思います。

（popであれば端末のメールを削除しても関係ないかもしれません）

使用しているのはOutlookで間違いありません。

（送っていただいたURLからサインインして確認いたしました。）

エラーメールもMicrosoft Outlookから送られてきます。

使用しているアカウントは大学のメールアドレスです。

接続方法に関しては申し訳ありませんが、確認方法がわからず確認できませんでした。

ご返信いただきありがとうございます。

受信者は自分で、復元可能なアイテム等も削除しております。

また、設定からストレージが十分に空いていることも確認しております。

その受信者はご自分でしょうか。

Outlook.com（hotmail.com 等含む）アカウントであれば、

削除済みや、削除済みの中の復元可能なアイテムも削除してください。

（その他　アーカイブ、迷惑トレイ、送信トレイなども確認してください）