Teams 内からドキュメントをローカルまたはクラウド サービスに保存する
Temas for Educationではない?のですね。
丸ごとがいいのでれば、ストレージのバックアップの様な自動化するような違ったやり方かもしれませんが・・・
いる/いらないを選択しながらということであれば・・・
少なくともチャンネンルやチャットの数だけは実施する必要がありますが、
それぞれファイルの一覧を開いて、
種類の左横をクリックしてすべて選択したり、
ファイルの左横に必要なものだけチェックを入れるとかして、必要なものを選択してから
まとめてダウンロード(ZIPになります、文字化けしないようにエクスプローラーで展開)するとかでしょうか。