いくつも問題点がありそうです。
Windows 7を再インストールしてネット接続できない場合は、Internet Explorer の「インターネット オプション」で次の設定を行ってみてください。
「詳細設定」タブの「セキュリティ」項目で、
【SSL 2.0 を使用する】・【SSL 3.0 を使用する】のチェックを外す
【TLS 1.0 を使用する】・【TLS 1.1 の使用】および【TLS 1.2 の使用】にチェックを入れる
TLS を有効にする方法:Internet Explorer 8
これで改善されなければ別のPCを使って必要なものをダウンロードして、下のスレッドの方法でWindows 7を最新の状態にできないか試してみてください。
Windows 10にアップグレードするためには、Windows 7がSP1になっている必要があると思いますし、いくつかの前提となる更新が必要かもしれません。
Windows 7 : リカバリー後の対処法
プロダクトIDはOSをインストールした後に自動生成されるもので、プロダクトキーではありません。
プロダクトキーはプリインストールのWindows 7でればPC本体に貼られたシールで確認し、PCとは別にパッケージ版などのライセンス(Windows 7)を購入していればケースに貼ってあるシールとかケース内のラベルなどに書かれています。
亡くした場合は再発行されませんが、これを亡くしたということでしょうか?
すでにアドバイスがあるように、ライセンスの問題もあります。
詳しいことは分かりませんが、無償アップグレードの場合はPCが特定のキーに紐づけられるようなので、ハードウェアが変わっていなければそのまま認証されると思いますが、ライセンスがあるのは無償アップグレードしたPCのみで他のPCでは使えないライセンスになると思います。
HDDの交換程度であれば同じPCだと思いますが、主要なハードウェアを交換すると別のPCと判断されて認証されないかもしれません。
どこまで認証されるかはユーザーには分かりませんので、マイクロソフトのサポートで確認してください。
ハードウェア構成の変更後に Windows 10 のライセンス認証をもう一度行う