edgeブラウザを終了すると検索バーが勝手に配置される

Edgeの設定で「システムとパフォーマンス」の項目にある［スタートアップ ブースト］が【オン】になっていたら【オフ】にしてみてください（下図はオンの状態）。

なお、検索バーの挙動がよく分かりません。

下のサイトにあるように、検索バーの設定（・・・）で表示される［検索バーを自動で起動する］のチェックを外すとか、その下にある［検索バーを閉じる］で表示される「検索バーを閉じますか？」にある［自動起動をオフにする］にチェックすれば非表示になるということですが、これが機能しているのかどうかが分かりませんでした。

検索バーを起動してEdgeのウィンドウを移動するとか最小化するとデスクトップに検索バーが残った状態で表示されていますが、［スタートアップ ブースト］が【オフ】の場合は［検索バーを自動で起動する］のチェックの有無あるいは［自動起動をオフにする］の有無に関係なくEdgeを閉じればデスクトップの検索バーも消えます。

　　　Edgeの検索バーを非表示にする