こんにちは。
タイプカバー自体が故障している可能性もSurface本体が故障している可能性もあるので、別デバイスに接続してみないとどっちがといった断定は難しいと思います。
ただ、購入が今年3月であれば無償で交換できるはずなので、次のリンクから進めてみてください
Surface を修理に出す方法
https://support.microsoft.com/ja-jp/help/4023527/surface-how-to-get-service-for-surface
※ エラーが表示される場合 inprivete ウィンドウやシークレットモードで回避できる場合があります。
不明点があれば窓口0120-54-2244に確認してみてください。